Greensche Funktion

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Greensche Funktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel zum Lösen inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen. Mathematisch gesehen sind sie der Kern eines Integraloperators, der die Inverse eines Differentialoperators darstellt; physikalisch betrachtet sind sie die Reaktion eines Systems, wenn eine Einheitspunktquelle auf das System einwirkt (Impulsantwort).^[1] Benannt sind sie nach dem Physiker und Mathematiker George Green. Mittels der greenschen Formeln löste dieser ein spezielles Dirichlet-Problem. Eine besondere Lösung dieses partiellen Randwertproblems, die in diesem Verfahren auftritt und mit deren Hilfe man durch das Superpositionsprinzip weitere Lösungen bestimmen kann, trägt heute den Namen Greensche Funktion.^[2] Bis heute wurde diese von Green beschriebene Lösungsmethode auf eine größere Klasse von Differentialgleichungen beziehungsweise von Randwertproblemen ausgeweitet. Daher wurde auch der Begriff der Greenschen Funktion in einen deutlich allgemeineren Kontext gestellt. Laurent Schwartz übertrug die Greensche Funktion in den Kontext der von ihm entwickelten Distributionentheorie. Dort wird sie selbst als Distribution verstanden und wird oftmals als Fundamentallösung bezeichnet. Andere Autoren bezeichnen sie aber auch im Kontext der Distributionen als Greensche Funktion.^[3] Während Randbedingungen für Fundamentallösungen irrelevant sind, stellen Greensche Funktionen spezielle Fundamentallösungen dar, die zusätzlich Randbedingungen erfüllen.

In der Potentialtheorie und Schweremessung wird sie u. a. zur Lösung des Ersten Randwertproblems eingesetzt. In der Theoretischen Physik, besonders in der Hochenergie- und Vielteilchenphysik, wird ferner eine Fülle verschiedener Funktionen definiert, die allesamt als „Greensche Funktionen“ bezeichnet werden und mit den hier angegebenen Funktionen in der einen oder anderen Form verwandt sind, ohne dass dies auf den ersten Blick erkennbar wäre. Diese Funktionen, speziell die Propagatoren der relativistischen Quantentheorien, sind im Folgenden nicht gemeint.

1. ↑ Universität von Kalifornien, Santa Barbara (Hrsg.): Eigenvalue Problems, Integral Equations, and Green's Functions. S. 1 (ucsb.edu [PDF]). 
2. ↑ Hans Niels Jahnke (Hrsg.): A History of Analysis. AMS, 2003, ISBN 0-8218-2623-9, S. 204. 
3. ↑ Eric W. Weisstein: Greens Function. In: MathWorld (englisch).